Φτιάχνουμε ομοιόμορφες μπάλες πεπονιού, χρησιμοποιώντας το ειδικό εργαλείο κουζίνας, τις οποίες απλώνουμε σε αντικολλητικό χαρτί και τις βάζουμε στην κατάψυξη για λίγες ώρες.
Σε ένα μπολ, ανακατεύουμε καλά το χυμό από τα λάιμ με τη ζάχαρη.
Μόλις λιώσει η ζάχαρη, προσθέτουμε, στο ίδιο μπολ, τα φύλλα μέντας και πατάμε δυνατά με ένα γουδοχέρι.
Τέλος, προσθέτουμε και το ρούμι και ανακατεύουμε πολύ καλά.
Σουρώνουμε το μίγμα στα ποτήρια, προσθέτουμε φύλλα μέντας και τις μπάλες πεπονιού και σερβίρουμε.